Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-\frac{1}{3}$．
（1）求函数y=f（x）在（1，f（1））点处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，求出切线方程即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x-$\frac{1}{3}$，
知f′（x）=x²-2x-3，
∴f′（1）=-4，所以函数在x=1处的切线的斜率为-4，
又∵f（1）=-4，
故切线方程为y+4=-4（x-1），即y=-4x；
（2）令f′（x）=0，得x=-1或x=3，
x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表知，f（x）_极大值=f（-1）=$\frac{4}{3}$，f（x）_极小值=f（3）=-$\frac{28}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查切线方程，是一道中档题．