Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx+1．
（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于x=3是f（x）的极值点，则f′（3）=0求出a，进而求出f′（x）＞0得到函数的增区间，求出f′（x）＜0得到函数的减区间即可；
（Ⅱ）由于f（x）≥1恒成立，即x＞0时，$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx≥0恒成立，设g（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx，求出函数的导数，分类讨论参数a，得到函数g（x）的最小值≥0，即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x-（a+1）+$\frac{a}{x}$，
∵x=3是f（x）的极值点，
∴f′（3）=3-（a+1）+$\frac{a}{3}$=0，解得a=3，
当a=3时，f′（x）=$\frac{（x-1）（x-3）}{x}$，
当x变化时，

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

故f（x）在（0，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增；
（Ⅱ）要使得f（x）≥1恒成立，即x＞0时，$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx≥0恒成立，
设g（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x+alnx，则g′（x）=x-（a+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，
（ⅰ）当a≤0时，由g′（x）＜0得单减区间为（0，1），
由g′（x）＞0得单增区间为（1，+∞），
故g（x）_min=g（1）=-a-$\frac{1}{2}$≥0，得a≤-$\frac{1}{2}$；
（ ii）当0＜a＜1时，由g′（x）＜0得单减区间为（a，1），
由g′（x）＞0得单增区间为（0，a），（1，+∞），
此时g（1）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，∴不合题意；
（ iii）当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单增，此时g（1）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，∴不合题意；
（ iv）当a＞1时，由g′（x）＜0得单减区间为（1，a），
由g′（x）＞0得单增区间为（0，1），（a，+∞），
此时g（1）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，∴不合题意．
综上所述：a≤-$\frac{1}{2}$时，f（x）≥1恒成立．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件．考查考生的运算、推导、判断能力．