Question

1．若函数f（x）=ax²+2x+blnx在x=1和x=2处取得极值，
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数的极值得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最值即可．

解答 解：（1）由题意$f'（x）=2ax+2+\frac{b}{x}$，…（2分）
由f（x）在x=1和x=2处取得极值得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=2a+2+b=0\\ f'（2）=4a+2+\frac{b}{2}=0\end{array}\right.$…（5分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{3}\\ b=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$…（7分）
（2）由（1）知$f（x）=-\frac{1}{3}{x^2}+2x-\frac{4}{3}lnx$，故$f'（x）=-\frac{2}{3}x+2-\frac{4}{3x}=\frac{-2（x-1）（x-2）}{3x}$
由f'（x）=0得x=1或x=2
在$[\frac{1}{2}，2]$上当x变化时，f'（x），f（x）变化情况列表得

x	$（\frac{1}{2}，1）$	1	（1，2）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极大值	单调递增

所以，当x=1时，f（x）取得极大值$f（1）=-\frac{1}{3}+2-0=\frac{5}{3}$
又$f（\frac{1}{2}）=-\frac{1}{12}+1-\frac{4}{3}ln\frac{1}{2}=\frac{11}{12}+\frac{4}{3}ln2$，$f（2）=-\frac{4}{3}+4-\frac{4}{3}ln2=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}ln2$
所以f（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上的最大值为$f（1）=\frac{5}{3}$，最小值为$f（\frac{1}{2}）=\frac{11}{12}+\frac{4}{3}ln2$…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查极值的意义，导数的应用，是一道中档题．