Question

8．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且$\overrightarrow{u}$=（b，-$\sqrt{3}$a），$\overrightarrow{v}$=（sinA，cosB），$\overrightarrow{u}$⊥$\overrightarrow{v}$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，c=2a，求a，c的值．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{u}$⊥$\overrightarrow{v}$时$\overrightarrow{u}$•$\overrightarrow{v}$=0，列出等式，再利用正弦定理和同角的三角函数关系，求出B的值；
（2）根据余弦定理，结合题意列出方程组，即可求出a、c的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{u}$=（b，-$\sqrt{3}$a），$\overrightarrow{v}$=（sinA，cosB），且$\overrightarrow{u}$⊥$\overrightarrow{v}$，
∴$\overrightarrow{u}$•$\overrightarrow{v}$=bsinA-$\sqrt{3}$acosB=0，
即bsinA=$\sqrt{3}$acosB；
由正弦定理得sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB；
又A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴sinB=$\sqrt{3}$cosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$；
又B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）由B=$\frac{π}{3}$，且b=3，c=2a，
根据余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
即3²=a²+4a²-2a•2a•cos$\frac{π}{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$或a=-$\sqrt{3}$（不合题意，舍去）；
∴a=$\sqrt{3}$，c=2a=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了平面向量的数量积与同角三角函数关系的应用问题，是综合题．