Question

19．如图，已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等，点E满足$\overrightarrow{DE}$=3$\overrightarrow{EC}$，点P在棱AC上运动，设EP与平面BCD所成角为θ，则sinθ的最大值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 设棱长为4a，PC=x（0＜x≤4a），则PE=$\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}-ax}$．求出P到平面BCD的距离，即可求出结论．

解答 解：设棱长为4a，PC=x（0＜x≤4a），则PE=$\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}-ax}$．
设P到平面BCD的距离为h，则$\frac{h}{\frac{4\sqrt{6}}{3}a}$=$\frac{x}{4a}$，∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$x，
∴sinθ=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}x}{\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}-ax}}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{（\frac{a}{x}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}}$，
∴x=2a时，sinθ的最大值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面角，考查配方法的运用，属于中档题．