Question

5．与函数f（x）=2^x的图象关于直线y=x对称的曲线C对应的函数为g（x），则函数$y=g（{\frac{1}{x}}）•g（{4x}）（{\frac{1}{8}≤x≤4}）$的值域为[-8，1]．

Answer 1

分析 根据题意写出函数g（x），求出函数y的解析式，再根据x的取值范围求出y的最大、最小值即可．

解答 解：∵函数f（x）=2^x，
∴g（x）=log₂x，x＞0；
∴函数y=g（$\frac{1}{x}$）•g（4x）
=log₂$\frac{1}{x}$•log₂（4x）
=（-log₂x）•（2+log₂x）
=-2log₂x-${{log}_{2}}^{2}$x
=-${{（log}_{2}x+1）}^{2}$+1；
又$\frac{1}{8}$≤x≤4，
∴-3≤log₂x≤2，
当x=$\frac{1}{2}$时，log₂$\frac{1}{2}$=-1，y取得最大值为y_max=1；
当x=4时，log₂4=2，y取得最小值为y_min=-8；
∴y的值域为[-8，1]．
故答案为：[-8，1]．

点评 本题考查了反函数与复合函数的值域问题，也考查了对数函数与二次函数的最值问题，是基础题．