Question

10．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别在A₁D、AC上，且A₁E=$\frac{2}{3}$A₁D，AF=$\frac{1}{3}$AC，则（　　）

• A． EF至多与A₁D、AC之一垂直
• B． EF与A₁D、AC都垂直
• C． EF与BD₁相交
• D． EF与BD₁异面

Answer 1

分析 连接D₁E，BF，根据A₁E=$\frac{2}{3}$A₁D，AF=$\frac{1}{3}$AC，判断D₁E，BF交与同一点M，再根据成比例线段证明EF∥D₁B，由D₁B⊥AC，D₁B⊥A₁D证明EF与A₁D、AC都垂直．

解答 解：如图所示；

连接D₁E，与AD交与M点处，因为A₁E=$\frac{2}{3}$A₁D，所以DM=$\frac{1}{2}$A₁D₁=$\frac{1}{2}$AD，
所以M为AD中点，
连接BF，交AD与N点，因为AF=$\frac{1}{3}$AC，所以AN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
所以N为AD中点，
所以M，N重合；且$\frac{ME}{{ED}_{1}}$=$\frac{MF}{FB}$=$\frac{1}{2}$，所以EF∥D₁B，
又AC⊥平面DD₁B，所以AC⊥BD₁，
所以AC⊥EF，
同理，A₁D⊥EF，
所以EF与A₁D、AC都垂直，且相交，
∴B正确，A、EF至多与A₁D、AC之一垂直错误，
C、EF与BD₁相交错误，D、EF与BD₁异面错误．
故选：B．

点评 本题考查了立体几何中线线平行与垂直的判断问题，是综合性问题．