Question

12．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，若向量$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|≤1，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 通过向量的数量积的定义，设出向量的坐标，利用向量的坐标运算和向量的模的公式及几何意义，结合圆的方程即可得出最大值为圆的直径．

解答 解：由平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，
可得|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=1•1•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，可得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$，
设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|≤1，即有|（$\frac{1}{2}$+x，y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）|≤1，
即为（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²≤1，
故|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|≤1的几何意义是在以（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）为圆心，半径等于1的圆上
和圆内部分，
|$\overrightarrow{c}$|的几何意义是表示向量$\overrightarrow{c}$的终点与原点的距离，而原点在圆上，
则最大值为圆的直径，即为2．
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键，属于中档题．