Question

3．已知点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为$\frac{1}{2}$，设动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设P（4，0），过点F作斜率不为0的直线l与曲线C交于两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，求k₁+k₂的值．

Answer 1

分析 （1）设点M（x，y），利用条件可得等式$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x-4|，化简，可得曲线C的轨迹方程；
（2）设直线l的方程为：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得：（4+3m²）y²+6my-9=0.${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-4）+{y}_{2}（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}-3（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}$

解答 解：（1）设点M（x，y），则据题意有$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x-4|
则4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，即3x²+4y²=12，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
曲线C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设直线l的方程为：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得：（4+3m²）y²+6my-9=0，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{m}^{2}+4}，{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{3+4{m}^{2}}$．
${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-4）+{y}_{2}（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}-3（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}$=0．
k₁+k₂的值为0

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．