Question

14．如图，已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦点F为抛物线y²=-4x的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足$\frac{{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AM}|}}}=\frac{{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AN}|}}}$，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知c=1，令x=-c，代入椭圆方程可得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$，$\frac{2{b}^{2}}{a}=3，又{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}$，可得a²=4，b²=3
（2）由（1）知A（-1，$\frac{3}{2}$），设$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AF}的夹角为α$，$\overrightarrow{AN}，\overrightarrow{AF}的夹角为β$．由$\frac{{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AM}|}}}=\frac{{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AN}|}}}$得，直线AM、AN的倾斜角互补，直线AM、AN的斜率互为相反数，可设直线AM：：y=k（x+1）+$\frac{3}{2}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得$\frac{3}{2}$$（3+4{k}^{2}）{x}^{2}+4k（3+2k）x+4{k}^{2}+12k-3=0\\;\\;\$，利用韦达定理求出M、N的坐标，直线MN的斜率k_MN=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{m}-{x}_{N}}=\frac{k（{x}_{M}+{x}_{N}）+2k}{{x}_{M}-{x}_{N}}=-\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由题意可知F（-1，0），所以c=1，
令x=-c，代入椭圆方程可得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$，∴$\frac{2{b}^{2}}{a}=3，又{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}$，∴a²=4，b²=3
∴椭圆C的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由（1）知A（-1，$\frac{3}{2}$），
设$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AF}的夹角为α$，$\overrightarrow{AN}，\overrightarrow{AF}的夹角为β$．
由$\frac{{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AM}|}}}=\frac{{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AF}}}{{\overrightarrow{|{AN}|}}}$得，|$\overrightarrow{AF}$|cosα=|$\overrightarrow{AF}$|cosβ，即∠FAM=∠FAN，又因为FA⊥x轴，
∴直线AM、AN的倾斜角互补，直线AM、AN的斜率互为相反数．
可设直线AM：：y=k（x+1）+$\frac{3}{2}$，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得$\frac{3}{2}$$（3+4{k}^{2}）{x}^{2}+4k（3+2k）x+4{k}^{2}+12k-3=0\\;\\;\$，
设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），因为A（-1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，
$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}×（-1）$，${x}_{M}=-\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{M}=k{x}_{M}+\frac{3}{2}$．
∵直线AM、AN的斜率互为相反数，∴用-k换k得：
${x}_{N}=-\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}，{y}_{N}=-kx-k+\frac{3}{2}$．
∴直线MN的斜率k_MN=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{m}-{x}_{N}}=\frac{k（{x}_{M}+{x}_{N}）+2k}{{x}_{M}-{x}_{N}}=-\frac{1}{2}$．
∴直线MN的斜率是否为定值-$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系，定点问题，属于难题．