Question

13．已知函数f（x）=|x+b²|-|-x+1|，g（x）=|x+a²+c²|+|x-2b²|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．
（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．
（Ⅱ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b²+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．

解答 解：（Ⅰ）由题意，当b=1时，f（x）=|x+b²|-|-x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-2，x≤-1}\\{2x，-1＜x＜1}\\{2，x≥1}\end{array}\right.$，
当x≤-1时，f（x）=-2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；
当-1＜x＜1时，f（x）=2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥$\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2}$≤x＜1；
当x≥1时，f（x）=2≥1恒成立，
所以不等式f（x）≥1的解集为[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）=|x+b²|-|-x+1|≤|x+b² +（-x+1）|=|b²+1|=b²+1；
g（x）=|x+a²+c²|+|x-2b²|=≥|x+a²+c²-（x-2b²）|=|a²+c²+2b²|=a²+c²+2b²．
而 a²+c²+2b²-（b²+1）=a²+c²+b²-1=$\frac{1}{2}$（ a²+c²+b²+a²+c²+b² ）-1≥ab+bc+ac-1=0，
当且仅当a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，等号成立，即 a²+c²+2b²≥b²+1，即f（x）≤g（x）．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．