Question

8．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=a₅-a₁．
（1）求数列{a_n}的公比q的值；
（2）记b_n=log₂a_n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，若T₄=2b₅，求数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前9项和．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的通项公式，讨论公比不为1，由求和公式，可得公比q的方程，解方程可得；
（2）由题意可得q取值为2，运用等比数列的通项公式和对数的运算性质，可得b_n，结合等差数列的通项公式和求和公式，可得b_n=n，再由$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，结合裂项相消求和，可得所求和．

解答 解：（1）由{a_n}是等比数列，则${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，
由题知公比q≠1（否则与S₄=a₅-a₁矛盾），
则${S_4}=\frac{{{a_1}（{1-{q^4}}）}}{1-q}={a_1}{q^4}-{a_1}={a_1}（{{q^4}-1}）$，
所以$\frac{{（{1-{q^4}}）}}{1-q}-（{{q^4}-1}）=0$，则$（{1-{q^4}}）[{\frac{1}{1-q}+1}]=0$，
所以q⁴=1或$\frac{1}{1-q}=-1$，
解得q=-1或2；
（2）由题意可得q取值为2，
则${b_n}={log_2}（{{2^n}{a_1}}）={log_2}{a_1}+n$，
所以数列{b_n}是一个公差为1的等差数列，
由T₄=2b₅得T₄=4b₁+6=2（b₁+4），
解之得b₁=1，即b_n=n，
所以数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前9项和H₉=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{9×10}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用方程思想，考查数列的求和，注意运用裂项相消求和，同时考查对数的运算性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．