Question

3．在△ABC中，|AB|=5，|AC|=6，若B=2C，则向量$\overrightarrow{BC}$在$\overrightarrow{BA}$上的投影是（　　）

• A． $-\frac{7}{5}$
• B． $-\frac{77}{125}$
• C． $\frac{77}{125}$
• D． $\frac{7}{5}$

Answer 1

分析 结合条件，根据正弦定理即可求出cosC=$\frac{3}{5}$，进而求出cosB=$-\frac{7}{25}$，然后根据余弦定理即可求出|BC|的值，从而可求出向量$\overrightarrow{BC}$在$\overrightarrow{BA}$上的投影的值．

解答 解：如图，根据正弦定理：
$\frac{|AB|}{sinC}=\frac{|AC|}{sinB}$；
∴$\frac{5}{sinC}=\frac{6}{sin2C}$，即$\frac{5}{sinC}=\frac{6}{2sinCcosC}$；
∴$cosC=\frac{3}{5}$；
∴cosB=cos2C=2cos²C-1=$-\frac{7}{25}$；
由余弦定理，|AC|²=|AB|²+|BC|²-2|AB||BC|cosB；
即$36=25+|BC{|}^{2}-2•5•|BC|•（-\frac{7}{25}）$；
解得|BC|=$\frac{11}{5}$；
∴向量$\overrightarrow{BC}$在$\overrightarrow{BA}$上的投影为：$|\overrightarrow{BC}|cosB=\frac{11}{5}×（-\frac{7}{25}）=-\frac{77}{125}$．
故选B．

点评 考查正余弦定理的应用，二倍角的正余弦公式，以及投影的定义及计算公式．