Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一个顶点在抛物线x²=4y的准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，M，N为椭圆上的两个不同的动点，直线OM，ON的斜率分别为k₁和k₂，是否存在常数P，当k₁k₂=P时△MON的面积为定值；若存在，求出P的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一个顶点在抛物线x²=4y的准线上，列出方程组，求出a=2，b=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当直线MN存在斜率时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，求出
存在常数P，当k₁k₂=P时△MON的面积为定值1；当直线MN不存在斜率时，若k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，则|MN|=$\sqrt{2}$，d=$\sqrt{2}$，此时S_△MON=1．由此求出存在常数p=-$\frac{1}{4}$，当k₁k₂=p时，△MON的面积为定值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一个顶点在抛物线x²=4y的准线上．
x²=4y的准线方程为y=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）当直线MN存在斜率时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴|MN|=$\sqrt{（{k}^{2}+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（{k}^{2}+1）[（\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}]}$
=$\frac{4\sqrt{（{k}^{2}+1）（4{k}^{2}+1-{m}^{2}）}}{4{k}^{2}+1}$，
点O到直线y=kx+m的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
${S}_{△MON}=\frac{1}{2}|MN|d$=$\frac{2|m|\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+1}$=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}（1-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）}$，
${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}×\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}+km×\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}+{m}^{2}}{\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}}$
=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{4{m}^{2}-4}$，
设$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{4{m}^{2}-4}$=p，则4k²=（1-4p）m²+4p，
于是$\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}=\frac{{m}^{2}}{（1-4p）{m}^{2}+4p+1}$，
由S_△MON为定值，得$\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}$为定值，
从而4p+1=0，解得p=-$\frac{1}{4}$，此时，S_△MON=1．
当直线MN不存在斜率时，
若k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，则|MN|=$\sqrt{2}$，d=$\sqrt{2}$，此时S_△MON=1．
综上，存在常数p=-$\frac{1}{4}$，当k₁k₂=p时，△MON的面积为定值．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、椭圆性质的合理运用．