Question

2．已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．
（1）求m的最大值；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a²+3b²+4c²的最小值及此时a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R，求出m的范围，即可得出结论；
（2）利用柯西不等式，可得2a²+3b²+4c²的最小值及此时a，b，c的值．

解答 解：（1）因为|x+3|+|x+m|≥|（x+3）-（x+m）|=|m-3|．
当-3≤x≤-m或-m≤x≤-3时取等号，
令|m-3|≥2m所以m-3≥2m或m-3≤-2m．
解得m≤-3或m≤1
∴m的最大值为1．
（2）∵a+b+c=1．
由柯西不等式，$（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}）（{2{a^2}+3{b^2}+4{c^2}}）$≥（a+b+c）²=1，
∴$2{a^2}+3{b^2}+4{c^2}≥\frac{12}{13}$，等号当且仅当2a=3b=4c，且a+b+c=1时成立．
即当且仅当$a=\frac{6}{13}$，$b=\frac{4}{13}$，$c=\frac{3}{13}$时，2a²+3b²+4c²的最小值为$\frac{12}{13}$．

点评 本题给出等式a+b+c=1，求式子2a²+3b²+4c²的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．