Question

14．已知函数f（x）=|x+1|-2|x-1|．
（1）求f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；
（2）设$g（x）=\frac{{{x^2}-ax+4}}{x}$，若对?s，t∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（$\frac{1}{3}$，0），B（3，0），C（1，2），即可求f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；
（2）求出g（s）有最小值4-a，f（t）有最大值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|-2|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x-3，x＜-1}\\{3x-1，-1≤x≤1}\\{-x+3，x＞1}\end{array}\right.$
∴f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（$\frac{1}{3}$，0），B（3，0），C（1，2），
∴f（x）的图象与x轴围成的三角形面积S=$\frac{1}{2}×2×\frac{8}{3}$=$\frac{8}{3}$．…（5分）
（2）∵?s∈（0，+∞）恒有g（s）=s+$\frac{4}{s}$-a≥4-a，
∴当且仅当s=2时，g（s）有最小值4-a．
又由（Ⅰ）可知，对?t∈（0，+∞），f（t）≤f（1）=2．
?s，t∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（t）成立，
等价于4-a≥2，即a≤2，
∴实数a的取值范围是a≤2．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式，考查三角形面积的计算，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．