Question

9．已知直线l₁：y=-$\frac{3}{2}$x+b于抛物线x²=-$\frac{16}{3}$y相切于点P．
（Ⅰ）求实数b的值和切点P的坐标；
（Ⅱ）若另一条直线l₂经过上述切点P，且与圆C：（x+1）²+（y+2）²=25相切，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）联立直线l₁：y=-$\frac{3}{2}$x+b于抛物线x²=-$\frac{16}{3}$y，消去y得3x²-24x+16b=0，利用△=0，求实数b的值和切点P的坐标；
（Ⅱ）分类讨论，利用直线与圆C：（x+1）²+（y+2）²=25相切，求直线l₂的方程．

解答 解：（Ⅰ）联立直线l₁：y=-$\frac{3}{2}$x+b于抛物线x²=-$\frac{16}{3}$y，消去y得3x²-24x+16b=0，
由题意知，△=576-4×3×16b=0，∴b=3          …（3分）
此时3x²-24x+16b=0就是3x²-24x+48=0，x=4代入直线l₁：y=-$\frac{3}{2}$x+b中，得到y=-3，
因此切点P的坐标是（4，-3）…（6分）
（Ⅱ）（1）若直线l₂的斜率存在，则可以设直线l的方程为y+3=k（x-4），
即kx-y-4k-3=0，于是$\frac{|-k+2-4k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，解得k=$\frac{12}{5}$，
故直线l的方程为12x-5y-63=0     …（9分）
（2）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=4，它与⊙C相切，满足条件．
因此，直线l的方程是x=4或12x-5y-63=0．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．