Question

15．如图，圆O（O为坐标原点）与离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆T：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）相交于点M（0，1）． 
（I）求椭圆T与圆O的方程；
（Ⅱ）过点M引两条互相垂直的两直线l₁、l₂与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．
①P为椭圆上任一点（异于点M），记点P到两直线的距离分别为d₁、d₂，求d₁²+d₂²的最大值；
②若3$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MD}$，求l₁与l₂的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知：离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=1，a²=b²+c²，求出a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，由此能求出椭圆C的方程，圆O的方程．
（Ⅱ）①设P（x₀，y₀），由l₁⊥l₂，则d₁²+d₂²=丨PM丨²，由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}$=1，得d₁²+d₂²=-3（${y}_{0}+\frac{1}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，由此能求出${{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}$的最大值．
②设l₁的方程为y=kx+1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²+2kx=0，求出A（-$\frac{2k}{{k}^{2}+1}$，$\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kx=0，求出C（-$\frac{8k}{4{k}^{2}+1}，\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），把A，C中的k置换成-$\frac{1}{k}$，得B（$\frac{2k}{{k}^{2}+1}，\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+1}$），D（$\frac{8k}{{k}^{2}+4}，\frac{{k}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$），由$3\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MD}$，由此能求出l₁的方程和l₂的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵圆O（O为坐标原点）与离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆T：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）相交于点M（0，1）．
∴由题意知：离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=1，a²=b²+c²，
解得：a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，圆O的方程x²+y²=1．
（Ⅱ）①设P（x₀，y₀），由l₁⊥l₂，则d₁²+d₂²=丨PM丨²=x₀²+（y₀-1）²，
由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}$=1，得d₁²+d₂²=$4-4{{y}_{0}}^{2}$+（y₀-1）²=-3（${y}_{0}+\frac{1}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
∵-1≤y₀≤1，∴当${y}_{0}=\frac{1}{3}$时，${{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}$取得最大值为$\frac{16}{3}$，此时点P（±$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
②设l₁的方程为y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（k²+1）x²+2kx=0，∵x_A≠0，∴${x}_{A}=-\frac{2k}{{k}^{2}+1}$，
代入y=kx+1，得${y}_{c}=\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，∴A（-$\frac{2k}{{k}^{2}+1}$，$\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kx=0，由x_C≠0，∴${x}_{C}=-\frac{8k}{4{k}^{2}+1}$，
代入y=kx+1，得${y}_{C}=\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，∴C（-$\frac{8k}{4{k}^{2}+1}，\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），
把A，C中的k置换成-$\frac{1}{k}$，得B（$\frac{2k}{{k}^{2}+1}，\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+1}$），D（$\frac{8k}{{k}^{2}+4}，\frac{{k}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$），
∴$\overrightarrow{MA}$=（-$\frac{2k}{{k}^{2}+1}，\frac{-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$），$\overrightarrow{MC}$=（$\frac{-8k}{4{k}^{2}+1}，\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$），
$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{2k}{{k}^{2}+1}$，$\frac{-2}{{k}^{2}+1}$），$\overrightarrow{MD}$=（$\frac{8k}{{k}^{2}+4}$，$\frac{-8}{1+4{k}^{2}}$），
由$3\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MD}$，
得3[（-$\frac{2k}{{k}^{2}-1}$•$\frac{8k}{{k}^{2}+4}$+（-$\frac{2}{{k}^{2}+1}$）（$-\frac{8k}{4{k}^{2}+1}$）]=4[$\frac{2k}{{k}^{2}+1}•\frac{8k}{{k}^{2}+4}$+（-$\frac{2}{{k}^{2}+1}$）（-$\frac{8}{{k}^{2}+4}$）]，
整理，得：$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}=\frac{4}{{k}^{2}+4}$，即3k⁴-4k²-4=0，解得k=$±\sqrt{2}$，
∴l₁的方程为y=$\sqrt{2}x+1$，l₂的方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}x+1$，
或l₁的方程为y=-$\sqrt{2}x+1$，l₂的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x+1$．

点评 本题考查椭圆方程、圆的方程、直线方程的求法，是中档题，注意椭圆性质、韦达定理、向量的数量积的合理运用．