Question

20．已知三棱锥A-BCD，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD=BD=2，CD=2$\sqrt{3}$，E，F分别是AC，BC的中点．
（1）P为线段BC上一点．且CP=2PB，求证：AP⊥DE．
（2）求直线AC与平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{CG}{GD}=\frac{CP}{PB}=2$，$GD=\frac{1}{3}CD=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，从而∠DAG=30°，推导出AG⊥DE，AD⊥BD，从而BD⊥面ADC，进而PG⊥DE，DE⊥面AGP，由此能求出DE⊥AP．
（2）以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线AC与平面DEF所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵PG∥BD，且PG交CD于G，
∴$\frac{CG}{GD}=\frac{CP}{PB}=2$，∴$GD=\frac{1}{3}CD=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
在△ADG中，$tan∠GAD=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴∠DAG=30°．
AC²=AD²+CD²=4+12=16，∴AC=4，E为中点，DE=AE=2，
∴∠ADE=60°，∴AG⊥DE．
∵AD⊥面BCD，∴AD⊥BD，
又∵BD⊥CD，AD∩CD=D，∴BD⊥面ADC，
∴PG⊥面ADC，∴PG⊥DE．
∵AG∩PG=G，∴DE⊥面AGP，AP?面AGP，
∴DE⊥AP．
解：（2）以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2），B（2，0，0），$C（{0，2\sqrt{3}，0}）$，$E（{0，\sqrt{3}，1}）$，$F（{1，\sqrt{3}，0}）$，
$\overrightarrow{DF}=（{1，\sqrt{3}，0}）$，$\overrightarrow{DE}=（{0，\sqrt{3}，1}）$，$\overrightarrow{AC}=（{0，2\sqrt{3}，-2}）$．
设平面EDF的法向量为$\vec n=（{x，y，z}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{DF}•\vec n=0\\ \overrightarrow{DE}•\vec n=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{3}y=0\\ \sqrt{3}y+z=0\end{array}\right.$
取$n=（{3，-\sqrt{3}，3}）$．
设$\overrightarrow{AC}$，$\vec n$的夹角为θ，$cosθ=\frac{{\overrightarrow{AC}•\vec n}}{{|{\overrightarrow{AC}}|•|{\vec n}|}}=\frac{-6-6}{{4\sqrt{21}}}-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
所以直线AC与平面DEF所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．