Question

18．某香料加工厂生产“沉鱼落雁”和“国色天香”两种香料，已知生产两种香料每吨所需的原材料A，B，C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：

原材料	沉鱼落雁（吨）	国色天香（吨）	可用资源数量（吨）
A	3	2	20
B	3	1	20
C	2	5	25

如果“沉鱼落雁”每吨的利润为400元，“国色天香”每吨的利润为300元，那么应如何安排生产，才能使香料加工厂每周的利润最大？并求出最大利润．

Answer 1

分析 由题意，z=400x+300y，约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y≤20}\\{3x+y≤20}\\{2x+5y≤25}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，求得最优解，即求得利润的最大值和最大值的状态．

解答 解：由题意，z=400x+300y，约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y≤20}\\{3x+y≤20}\\{2x+5y≤25}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，如图所示，
作直线4x+3y=0，并移动，可知当移动后的直线过B（$\frac{50}{11}$，$\frac{35}{11}$）时，4x+3y取得最大值，
则z=400x+300y取得最大值，故z_max=$\frac{30500}{11}$，
∴生产“沉鱼落雁”$\frac{50}{11}$吨，“国色天香”$\frac{35}{11}$吨，才可以获得最大周利润$\frac{30500}{11}$元．

点评 本题主要考查用简单的线性规划研究目标函数的最大和最小值，关键是通过平面区域，求得最优解，属于线性规划的应用题．