Question

8．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+2y-3≤0\\ x+3y-3≥0\\ y≤1\end{array}\right.$，z=2x+y的最大值是m，若正数a，b满足a+b=m，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解，得大m的值，然后利用1的代换，结合基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3=0}\\{x+3y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，即C（3，0），
代入目标函数z=2x+y得z=2×3+0=6．
即目标函数z=2x+y的最大值为6．
即m=6，
则a+b=6，即$\frac{a+b}{6}$=1，
则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）×$\frac{a+b}{6}$=$\frac{1}{6}$（1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$）=$\frac{5+4}{6}$=$\frac{3}{2}$，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$，即b²=4a²，即b=2a时取等号，
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想以及利用基本不等式的性质是解决此类问题的基本方法．