Question

7．函数f（x）=3-sinx-2cos²x，$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，则函数的最大值与最小值之差为（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{5}{8}$
• C． $\frac{7}{8}$
• D． $\frac{9}{8}$

Answer 1

分析 由已知得-$\frac{1}{2}$≤sinx≤1，利用同角平方关系对函数f（x）化简，结合二次函数的性质求出函数的最大、最小值．

解答 解：由正弦函数的性质可知，
当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]时，sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
∵函数f（x）=3-sinx-2cos²x
=2sin²x-sinx+1
=2${（sinx-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{7}{8}$；
∴当sinx=$\frac{1}{4}$时，f（x）取得最小值为f（x）_min=$\frac{7}{8}$；
当sinx=1或-$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最大值为f（x）_max=2；
∴函数的最大值与最小值之差为f（x）_max-f（x）_min=2-$\frac{7}{8}$=$\frac{9}{8}$．
故选：D．

点评 本题考查了正弦函数的性质以及利用配方法求二次函数的值域问题，要注意sinx的范围．