Question

14．已知数列{a_n}满足a₂=1，且其前n项和为${S_n}={n^2}-pn$
（1）求实数p的值及数列{a_n}的通项公式
（2）若数列{b_n}为等比数列，公比为p，{b_n}前n项和为T_n，且T₅＜S₅，求b₁取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，得S₁=1-p，S₂=4-2p，利用a₂=1，S₂=a₁+a₂，可得S₂=4-2p=1-p+1，即可求p的值；再写一式，两式相减，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求出T_n，利用T₅＜S₅，建立不等式，注意b₁≠0，即可求b₁的取值范围．

解答 解：（1）由题意，得S₁=1-p，S₂=4-2p，
因为a₂=1，S₂=a₁+a₂，
所以 S₂=4-2p=1-p+1，
解得 p=2．
所以S_n=n²-2n．
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，
得a_n=n²-2n-（n-1）²+2（n-1）=2n-3
验证知n=1时，a₁=-1符合上式，
所以a_n=2n-3，n∈N^*．
（2）由数列{b_n}为等比数列，公比为2，
得Tn=$\frac{{b}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=b₁（2ⁿ-1）．
因为T₅＜S₅，
所以b₁（2⁵-1）＜5²-2×5．                                           
又因为b₁≠0，
解得b₁＜0或0＜b₁＜$\frac{15}{31}$．
所以b₁的取值范围是（-∞，0）∪（0，$\frac{15}{31}$）．

点评 本题考查数列的递推式和应用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键，考查运算能力，属于中档题．