Question

4．已知椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，长轴长为4，焦点在x轴上，斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程
（2）求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，长轴长为4，焦点在x轴上，列出方程组，求出a=2，b=1，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设斜率为1的直线l的方程为y=x+b，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，得5x²+8bx+4b²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出|AB|的最大值．

解答 解：（1）∵椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，长轴长为4，焦点在x轴上，
∴设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
且$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）设斜率为1的直线l的方程为y=x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，得5x²+8bx+4b²-4=0，
△=64b²-80b²+80=80-16b²＞0，解得-$\sqrt{5}＜b＜\sqrt{5}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8b}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{b}^{2}-4}{5}$，
|AB|=$\sqrt{（1+{1}^{2}）[（-\frac{8b}{5}）^{2}-4×\frac{4{b}^{2}-4}{5}]}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-{b}^{2}}$，
∴当b=0时，|AB|取最大值$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．