Question

12．若对任意x∈[2，4]及y∈[2，3]，该不等式xy≤ax²+2y²恒成立，则实数a的范围是a≥0．

Answer 1

分析 若不等式xy≤ax²+2y²恒成立，则a≥-2（$\frac{y}{x}$）²+$\frac{y}{x}$恒成立，令t=$\frac{y}{x}$，结合二次函数的图象和性质，求得函数的最值，可得答案．

解答 解：若不等式xy≤ax²+2y²恒成立，
则a≥-2（$\frac{y}{x}$）²+$\frac{y}{x}$恒成立，
令t=$\frac{y}{x}$，x∈[2，4]，y∈[2，3]，则t∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
则u=-2（$\frac{y}{x}$）²+$\frac{y}{x}$=-2t²+t在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上为减函数，
当t=$\frac{1}{2}$时，u取最大值0，
故a≥0，
故答案为：a≥0

点评 本题考查的知识点是恒成立问题，二次函数的图象和性质，函数的最值及其几何意义，难度中档．