Question

14．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0），则要得到函数y=f′（x）的图象，只需把函数f（x）的图象（　　）

• A． 沿x轴向左平移$\frac{π}{2}$个单位，纵坐标伸长为原来的2倍
• B． 沿x轴向右平移$\frac{π}{2}$个单位，纵坐标伸长为原来的2倍
• C． 沿x轴向左平移$\frac{π}{4}$个单位，纵坐标伸长为原来的2倍
• D． 沿x轴向右平移$\frac{π}{4}$个单位，纵坐标伸长为原来的2倍

Answer 1

分析 先求得f′（x）的解析式，再利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：函数y=f′（x）=[sin（2x+φ）]′=2cos（2x+φ），
∵函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0），
∴2•$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），∴f′（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$）=2sin2（x+$\frac{5π}{12}$）．
把函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin2（x+$\frac{π}{6}$）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{4}$个单位，可得y=sin2（x+$\frac{5π}{12}$）的图象，
再把纵坐标伸长为原来的2倍，可得f′（x）=2sin2（x+$\frac{5π}{12}$）的图象，
故选：C．

点评 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．