Question

3．求适合下列条件的标准方程：
（1）焦点在x轴上，与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$具有相同的离心率且过点（2，-$\sqrt{3}$）的椭圆的标准方程；
（2）焦点在y轴上，焦距是16，离心率$e=\frac{4}{3}$的双曲线标准方程．

Answer 1

分析 （1）设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和点满足椭圆方程，以及基本量a，b，c的关系，解方程即可得到所求椭圆方程；
（2）设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求双曲线方程．

解答 解：（1）设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
且$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{{b}^{2}}$=1，c²=a²-b²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，
即有椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
（2）设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由题意可得2c=16，即c=8，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{3}$，可得a=6，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{64-36}$=2$\sqrt{7}$．
则双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{36}$-$\frac{{x}^{2}}{28}$=1．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，以及椭圆和双曲线的性质，考查方程思想，以及运算能力，属于基础题．