Question

12．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A-B₁D₁-A₁的正切值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-B₁D₁-A₁的正切值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
则A（1，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），
设平面AB₁D₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
平面A₁B₁D₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角A-B₁D₁-A₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{2}$，
∴二面角A-B₁D₁-A₁的正切值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二面角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．