Question

8．已知直线ax+by-1=0（ab＞0）经过圆x²+y²-2x-4y=0的圆心，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$最小值是9．

Answer 1

分析 求得圆的圆心，代入直线方程，可得a+2b=1（a，b＞0），即有$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）×1=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（a+2b）=5+$\frac{2a}{b}$+$\frac{2b}{a}$，运用基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：圆x²+y²-2x-4y=0的圆心为（1，2），
由题意可得a+2b=1（a，b＞0），
则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）×1=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（a+2b）
=5+$\frac{2a}{b}$+$\frac{2b}{a}$≥5+4=9．
当且仅当a=b=$\frac{1}{3}$时，取得最小值9．
故答案为：9．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，注意运用直线过圆心，考查乘1法和均值不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．