Question

13．已知椭圆C中心在原点，离心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其右焦点是圆E：（x-1）²+y²=1的圆心．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线，分别交y轴于点M、N．试推断是否存在点P，使$|MN|=\frac{{\sqrt{14}}}{3}$？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件分别求出a，c的值，而b²=a²-c²，代入求出椭圆的方程．
（2）假设存在点P满足题意，设点P（x₀，y₀）（x₀＜0），M（0，m），N（0，n），利用条件求出直线PM方程，根据圆心E（1，0）到直线．的距离为1，求出m与点P坐标之间的关系，同理求出n与点P坐标之间的关系，利用韦达定理求出m+n，mn的表达式，算出|MN|，求出P点坐标．

解答 解：（1）设椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），半焦距为c，
因为椭圆的右焦点是圆E的圆心，则c=1，
因为椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}c=\sqrt{2}$，
从而b²=a²-c²=1，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设点P（x₀，y₀）（x₀＜0），M（0，m），N（0，n），
则直线PM的方程为y=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}}x+m$，即（y₀-m）x-x₀y+mx₀=0，
因为圆心E（1，0）到直线PM的距离为1，
即$\frac{|{y}_{0}-m+{x}_{0}m|}{\sqrt{（{y}_{\;}0-m）^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=1，
即（y₀-m）²+${{x}_{0}}^{2}$=（y₀-m）²+2x₀m（y₀-m）+${{x}_{0}}^{2}{m}^{2}$，即（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，
同理（x₀-2）n²+2y₀n-x₀=0．
由此可知，m，n为方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的两个实根，
所以m+n=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，mn=-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
|MN|=|m-n|=$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=$\sqrt{\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}+\frac{4{x}_{0}}{{x}_{0}-2}}$=$\sqrt{\frac{4{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-{x}_{0}}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$．
因为点P（x₀，y₀）在椭圆C上，则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，即${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$，
则|MN|=$\sqrt{\frac{2{{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+4}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2（{x}_{0}-2）^{2}-4}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$=$\sqrt{2-\frac{4}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$，
令$\sqrt{2-\frac{4}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{3}$，
则（x₀-2）²=9，
因为x₀＜0，则x₀=-1，${{y}_{0}}^{2}$=1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即${y}_{0}=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故存在点P（-1，$±\frac{\sqrt{2}}{2}$）满足题设条件．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用．