Question

18．设F₁，F₂分别是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF₁的中点在y轴上，∠PF₁F₂=30°，F₁F₂=2，则椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 判断三角形PF₁F₂是直角三角形，依题意可求得|PF₁|与|PF₂|，求出a，然后求解b，即可求解椭圆方程．

解答 解：F₁，F₂分别是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF₁的中点在y轴上，可得PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=30°，
∴|F₁F₂|=2，|PF₁|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，|PF₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
又|PF₁|+|PF₂|=2a=2$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，|F₁F₂|=2c=2，c=1，
∴b=$\sqrt{2}$．
所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，求得|PF₁|与|PF₂|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．