Question

8．设函数f（x）的导函数为f'（x），且满足$xf'（x）+f（x）=\frac{e^x}{x}$，f（1）=e，则x＞0时，f（x）（　　）

• A． 有极大值，无极小值
• B． 有极小值，无极大值
• C． 既有极大值又有极小值
• D． 既无极大值也无极小值

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性判断出f（x）递增，从而求出f（x）无极值．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{x}-xf（x）}{{x}^{2}}$，
令g（x）=e^x-xf（x），
∴g′（x）=e^x-（xf′（x）+f（x））
=e^x（1-$\frac{1}{x}$），
若x＞1，则g′（x）＞0，g（x）＞g（1）=0，f（x）递增，
若0＜x＜1，则g′（x）＜0，g（x）＞g（1）=0，f（x）递增，
∴函数f（x）既无极大值又无极小值；
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．