Question

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知b=4，c=5，A=60°．
（1）求边长a和△ABC的面积；
（2）求sin2B的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可求a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
（2）由正弦定理可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$，由b＜c，可得B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵b=4，c=5，A=60°．
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=16+25-4×5=21，
∴a=$\sqrt{21}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×5×\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$…6分
（2）∵由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$，可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{4}{\sqrt{21}}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$…8分
∵b＜c，B为锐角，可得：cosB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，…10分
∴sin2B=2sinBcosB=2×$\frac{2}{\sqrt{7}}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．