Question

5．给出下列命题：
①函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在闭区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数；
②直线x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）图象的一条对称轴；
③要得到函数y=sin2x的图象，需将函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{12}$单位；
④函数f（x）=Asin（x+φ），（A＞0）在x=$\frac{π}{4}$处取到最小值，则y=f（$\frac{3π}{4}$-x）是奇函数．
其中，正确的命题的序号是：②③④．

Answer 1

分析 ①，函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在闭区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上是增函数；
②，f（$\frac{π}{8}$）=-1是最小值，直线x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）图象的一条对称轴；
③，y=sin2x=cos（2x-$\frac{π}{2}$），要得到函数y=sin2x的图象，需将函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{12}$单位；
④，由题意可得sin（$\frac{π}{4}$+φ）=-1，解得φ=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z，从而可求y=f（$\frac{3π}{4}$-x）=-Asinx，则y=f（$\frac{3π}{4}$-x）是奇函数．

解答 解：对于①，函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在闭区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上是增函数，故错；
对于②，∵$f（\frac{π}{8}）=-1$，是最小值，直线x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）图象的一条对称轴，故正确；
对于③，∵y=sin2x=cos（2x-$\frac{π}{2}$）要得到函数y=sin2x的图象，需将函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{12}$单位，故正确；
对于④，由题意可得sin（$\frac{π}{4}$+φ）=-1，解得φ=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z，从而可求y=f（$\frac{3π}{4}$-x）=-Asinx，则y=f（$\frac{3π}{4}$-x）是奇函数，故正确．
故答案为：②③④

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了三角函数的图形及性质，属于中档题．