Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的m，n∈N^*，都有a_m+n=a_m+a_n+mn，则$\sum_{i=1}^{2017}$$\frac{1}{{a}_{i}}$=（　　）

• A． $\frac{2017}{2018}$
• B． $\frac{2016}{2017}$
• C． $\frac{2018}{1009}$
• D． $\frac{2017}{1009}$

Answer 1

分析 令m=1，可得a_n+1-a_n=n+1，再利用累加法可求得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=$\frac{（n+1）n}{2}$，再利用裂项法得到$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），从而可求得$\sum_{i=1}^{2017}$$\frac{1}{{a}_{i}}$的值．

解答 解：∵a₁=1，且对任意的m，n∈N^*，都有a_m+n=a_m+a_n+mn，
∴令m=1，则a_n+1=a₁+a_n+n=a_n+n+1，
即a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n-a_n-1=n（n≥2），
…，
a₂-a₁=2，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=$\frac{（n+1）n}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\sum_{i=1}^{2017}$$\frac{1}{{a}_{i}}$=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）+（$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$）]=2（1-$\frac{1}{2018}$）=$\frac{2017}{1009}$，
故选：D．

点评 本题考查数列递推式，利用累加法求得a_n=$\frac{（n+1）n}{2}$是关键，考查推理运算能力，属于中档题．