Question

4．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，过点F₁的直线l，交椭圆E于A、B两点，过点F₂的直线l₂交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，当CD⊥x轴时，|CD|=3．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率为$\frac{1}{2}$，过点F₂的直线l₂交椭圆E于C，D两点，当CD⊥x轴时，|CD|=3，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆E的标准方程．
（Ⅱ）设四边形ABCD的面积为S，AB与CD中有一条与x轴重合或平行，S=2b²=6．若AB与CD的斜率都存在，不妨设AB的斜率为k，设AB：y=k（x+1）与椭圆相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由韦达定理和弦长公式求出AB=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，同理，得BC=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+4}$，从而S=$\frac{1}{2}×AB×CD$=72×$\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{（3{k}^{2}+4）（3+4{k}^{2}）}$，令t=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$∈（0，1），S=g（t）=72×$\frac{1}{-{t}^{2}+t+12}$，由此根据函数的单调性能求出四边形ACBD面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，
过点F₂的直线l₂交椭圆E于C，D两点，当CD⊥x轴时，|CD|=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{2{b}^{2}}{a}=3}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）设四边形ABCD的面积为S，
若AB与CD中有一条与x轴重合或平行，
S=$\frac{1}{2}×2×\frac{{b}^{2}}{a}×2a$=2b²=6．
若AB与CD的斜率都存在，不妨设AB的斜率为k，
设AB：y=k（x+1）与椭圆相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得3x²+4k²（x+1）²-12=0，
即（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}×\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
同理，得BC=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+4}$，
S=$\frac{1}{2}×AB×CD$=72×$\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{（3{k}^{2}+4）（3+4{k}^{2}）}$，
令t=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$∈（0，1），S=g（t）=72×$\frac{1}{-{t}^{2}+t+12}$，
g（t）在（0，$\frac{1}{2}$）上是减函数，在[$\frac{1}{2}$，1）上是增函数，g（0）=g（1），
∴四边形ACBD面积的最小值S_min=g（$\frac{1}{2}$）=72×$\frac{1}{-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+12}$=$\frac{288}{49}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查四边形的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用．