Question

9．平面直角坐标系xoy中，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）A，B是抛物线C₂：x²=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C₁相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线AB为：y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4m=0，由此利用韦达定理、直线垂直推导出直线AB过抛物线C₁的焦点F，再由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，由此利用弦长公式能求出弦|CD|的最大值．

解答 解：（1）∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，
当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2a+\frac{2{b}^{2}}{a}=6}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设直线AB为：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4m=0，
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
由x²=4y，得${y}^{'}=\frac{x}{2}$，
故切线PA，PB的斜率分别为${k}_{PA}=\frac{{x}_{1}}{2}$，k_PB=$\frac{{x}_{2}}{2}$，
再由PA⊥PB，得k_PA•k_PB=-1，
∴$\frac{{x}_{1}}{2}•\frac{{x}_{2}}{2}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}=\frac{-4m}{4}=-m=-1$，
解得m=1，这说明直线AB过抛物线C₁的焦点F，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，
∴|CD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{（4k）^{2}-4（1+2{k}^{2}）•（-2）}}{1+2{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{8（1+4{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$≤3．
当且仅当k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
∴弦|CD|的最大值为3．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用．