Question

12．已知A、D分别为椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（{a＞b＞0}）$的左顶点与上顶点，椭圆的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任意一点，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程．
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得椭圆方程为x²+4y²=a²，设P（x，y），则2x-y=a，y∈[0，$\frac{a}{2}$]，从而$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=${x}^{2}+{y}^{2}-{c}^{2}=5{y}^{2}-4ay+\frac{{a}^{2}}{4}$=5（y-$\frac{2a}{5}$）²-$\frac{11{a}^{2}}{20}$，y∈[0，$\frac{a}{2}$]，当y=0时，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的值最大值1，从而得到$\frac{{a}^{2}}{4}=1$，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设AB：y=kx+b，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，由此利用韦达定理、向量垂直、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程．

解答 解：（1）∵A、D分别为椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（{a＞b＞0}）$的左顶点与上顶点，
椭圆的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任意一点，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值为1，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴椭圆方程为x²+4y²=a²，
设P（x，y），则2x-y=a，y∈[0，$\frac{a}{2}$]，
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=${x}^{2}+{y}^{2}-{c}^{2}=5{y}^{2}-4ay+\frac{{a}^{2}}{4}$=5（y-$\frac{2a}{5}$）²-$\frac{11{a}^{2}}{20}$，y∈[0，$\frac{a}{2}$]，
∴当y=0时，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的值最大值，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值为1，∴$\frac{{a}^{2}}{4}=1$，解得a²=4，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设AB：y=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
∴${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{b}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kb}{1+4{k}^{2}}$，
由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=0，
整理，得：5b²=4（k²+1），即$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
设存在圆x²+y²=r²与y=kx+b相切，
则$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，∴r=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴圆为x²+y²=$\frac{4}{5}$，
当直线AB斜率不存在时，检验满足条件，
∴所求圆的方程为x²+y²=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、向量垂直、直线与圆相切等知识点的合理运用．