Question

10．若椭圆${C_1}：\frac{x^2}{{{a_1}^2}}+\frac{y^2}{{{b_1}^2}}=1\;（\;{a_1}＞0，{b_1}＞0）$，和椭圆${C_2}：\frac{x^2}{{{a_2}^2}}+\frac{y^2}{{{b_2}^2}}=1\;（\;{a_2}＞{b_2}＞0）$的焦点相同，且a₁＞a₂；给出如下四个结论：其中，所有正确结论的序号为①③
①椭圆C₁和椭圆C₂一定没有公共点；  
②$\frac{a_1}{a_2}＞\frac{b_1}{b_2}$；
③${a_1}^2-{a_2}^2={b_1}^2-{b_2}^2$
④a₁-a₂＜b₁-b₂．

Answer 1

分析 由条件可知两椭圆的焦点均在x轴上，且a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，由a₁＞a₂，可得b₁＞b₂，即可判断①③；
举例若椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．即可判断②④．

解答 解：由题意可得两椭圆的焦点均在x轴上，且a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，
即有a₁²-a₂²=b₁²-b₂²，故③正确；
由a₁＞a₂，可得b₁＞b₂，
由椭圆的对称性可得椭圆C₁和椭圆C₂一定没有公共点，故①正确；
若椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
满足题意，但a₁-a₂=6-5=1，b₁-b₂=2-1=1，
即有a₁-a₂=b₁-b₂．故④错误；
由$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{6}{5}$，$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=2，即有$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$＜$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，故②错误．
故答案为：①③．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，以及基本量的关系，考查判断能力和运算能力，属于基础题．