Question

1．设函数f （x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1，函数f′（x）为f （x）的导函数．
（I）求函数f′（x）的单调区间和极值；
（II）已知函数y=g （x）的图象与函数y=f （x）的图象关于原点对称，证明：当x＞0时，f （x）＞g （x）；
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f （x₁）+f （x₂）=0，证明：x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；
（Ⅱ）令F （x）=f （x）-g （x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F（x）＞F（0），证出结论即可；
（Ⅲ）要证x₁+x₂＜0，即证x₁＜-x₂，根据函数的单调性只需证-f （x₂）=f （x₁）＜f （-x₂），即f （x₂）+f （-x₂）＞0，结合（Ⅱ）得出结论．

解答 解：（I）f′（x）=e^x-x-1，f′′（x）=e^x-1（2分）
当x＜0时，f′′（x）＜0，当x＞0时，f′′（x）＞0
∴f′（x）在（-∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增．
当x=0时，f′（0）=0为f′（x）极小值，无极大值．（4分）
（II）证明：由题意g （x）=-f （-x）=-e^-x+$\frac{1}{2}$x²-x+1，（5分）
令F （x）=f （x）-g （x）=f （x）+f （-x）=e^x+e^-x-x²-2（x≥0），
F′（x）=e^x-e^-x-2x，F′′（x）=e^x+e^-x-2≥0（6分）
因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；
因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，（7分）
当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（8分）
（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．（9分）
因为x₁≠x₂，不妨设x₁＜x₂，于是有x₁＜0，x₂＞0，
要证x₁+x₂＜0，即证x₁＜-x₂．
因为f （x）单调递增，f （x₁）+f （x₂）=0
故只需证-f （x₂）=f （x₁）＜f （-x₂），即f （x₂）+f （-x₂）＞0（10分）
因为x₂＞0，由（II）知上不等式成立，从而x₁+x₂＜0成立．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．