Question

11．已知正数a，b，c满足5c-3a≤b≤4c-a，b≥c，则$\frac{b}{a}$的取值范围为（　　）

• A． [2，7]
• B． （0，7]
• C． [$\frac{1}{3}$，7]
• D． [3，7]

Answer 1

分析 由已知，画出满足条件的可行域，可得$\frac{b}{a}$的取值范围．

解答 解：∵5c-3a≤b≤4c-a，b≥c，
∴$5-3•\frac{a}{c}≤\frac{b}{c}≤4-\frac{a}{c}$，$\frac{b}{c}≥1$，
令$x=\frac{a}{c}$，y=$\frac{b}{c}$，
则$\left\{\begin{array}{l}5-3x≤y≤4-x\\ y≥1\end{array}\right.$，
则满足约束条件的可行域如下图所示：

$\frac{b}{a}$=$\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}$=$\frac{y}{x}$表示可行域内动点与原点连线的斜率，
故当直线过A（3，1）点时，$\frac{b}{a}$取最小值$\frac{1}{3}$，
当直线过B（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$）点时，$\frac{b}{a}$取最大值7，
故$\frac{b}{a}$的取值范围为[$\frac{1}{3}$，7]，
故选：C

点评 本题考查的知识点是线性规划问题，令$x=\frac{a}{c}$，y=$\frac{b}{c}$，将问题转化为线性规划问题，是解答的关键．