Question

6．已知函数f（x）=2alnx-x²+1（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；
（Ⅲ）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论①当$\sqrt{a}$≤1②当$\sqrt{a}$＞1的情况，从而求出函数的最值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0＜a≤1时，f（x）≤f（1）=0在区间[1，+∞）上恒成立；当a＞1时，由于f（x）在区间[1，$\sqrt{a}$]上是增函数，从而得到a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-a）}{x}$，（x＞0），
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得x₁＞$\sqrt{a}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
故f（x）在（0，$\sqrt{a}$）递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）递增；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-a）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）=0，由a＞0，解得x₁=$\sqrt{a}$，x₂=-$\sqrt{a}$（舍去），
①当$\sqrt{a}$≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，+∞）上f′（x）≤0，函数f（x）是减函数．
所以 函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；        
②当$\sqrt{a}$＞1，即a＞1时，x在[1，+∞）上变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表

x	1	（1，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）		+	0	-
f（x）	0	↗	alna-a+1	↘

∴函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（$\sqrt{a}$）=alna-a+1，
综上所述：当0＜a≤1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；
当a＞1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（$\sqrt{a}$）=alna-a+1，
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0＜a≤1时，f（x）≤f（1）=0在区间[1，+∞）上恒成立；
当a＞1时，由于f（x）在区间[1，$\sqrt{a}$]上是增函数，
∴f（$\sqrt{a}$）＞f（1）=0，即在区间[1，+∞）上存在x=$\sqrt{a}$使得f（x）＞0．
综上所述，a的最大值为1．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，是一道中档题．