Question

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右顶点为A、B，左右焦点为F₁，F₂，其长半轴的长等于焦距，点Q是椭圆上的动点，△QF₁F₂面积的最大值为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B的点M、N，判断点B与以MN为直径的圆的位置关系．

Answer 1

分析 （1）当Q为椭圆短轴顶点时，△QF₁F₂面积最大，列出方程组解出a，b，c即可；
（2）设M（x₀，y₀），利用A，M，P三点共线求出P点坐标，计算$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BP}$得出∠MBP的范围，从而确定∠MBN的范围，进而判断出B与以MN为直径的圆的位置关系．

解答 解：（1）∵长半轴的长等于焦距，△QF₁F₂面积的最大值为$\sqrt{3}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{\frac{1}{2}×2c×b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，又a²-b²=c²，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）A（-2，0），B（2，0），
设M（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，即y₀²=$\frac{3}{4}$（4-x₀²），且-2＜x₀＜2．
∵P，A，M三点共线，∴P（4，$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（x₀-2，y₀），$\overrightarrow{BP}$=（2，$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$），
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BP}$=2（x₀-2）+$\frac{6{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{2}{{x}_{0}+2}$（x₀²-4+3y₀²）=$\frac{2}{{x}_{0}+2}$[x₀²-4+$\frac{9}{4}$（4-x₀²）]=$\frac{5}{2}$（2-x₀）＞0，
∴∠MBP为锐角，
∴∠MBN为钝角，
∴点B在以MN为直径的圆内．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．