Question

9．如图，矩形ABCD中，$AB=\sqrt{2}AD$，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE．若M为线段A₁C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列结论中：①|BM|是定值；②点M在球面上运动；③DE⊥A₁C；④MB∥平面A₁DE．其中错误的有（　　）个

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 取DC中点N，连MN，NB，则MN∥A₁D，NB∥DE，从而MB∥面A₁DE；由MN=$\frac{1}{2}$A₁D，NB=DE，根据余弦定理得到MB是定值；M是在以B为圆心，MB为半径的球上；A₁C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直．

解答 解：取DC中点N，连MN，NB，MN∥A₁D，NB∥DE，
∴面MNB∥面A₁DE，MB?面MNB，
∴MB∥面A₁DE，故④正确；
∠A₁DE=∠MNB，MN=$\frac{1}{2}$A₁D为定值，NB=DE为定值，
根据余弦定理得到：MB²=MN²+NB²-2MN•NB•cos∠MNB，
所以MB是定值．故①正确．
B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，故②正确．
A₁C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，故③不正确．
故选：B．

点评 本题考查命题命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．