Question

18．已知m＞2，若函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{x}-2，0＜x≤2}\\{g（x-2）+m-2，2＜x≤4}\end{array}\right.$，则方程g（g（x））-m+3=0的根的个数最多有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 做出g（x）的函数图象，判断两段函数图象的关系，令g（x）=t，判断关于t的方程g（t）-m+3=0的根的个数及根所在的区间，总而得出关于x的方程g（x）=t的根的个数．

解答 解：由题意可知g（x）在（2，4]上的图象是由（0，2]上的图象向右平移2个单位再向上平移m-2个单位得到的．
做出g（x）的大致函数图象如图所示：
∵m＞2，∴m²-2-（m-3）=m²-m+1＞0，
∴m²-2＞m-3，
设g（x）=t，由g（g（x））-m+3=0得g（t）=m-3，
∴关于t的方程g（t）=m-3有且只有一解t₀，且t₀∈（0，2），
∵m＞2，∴m²-2＞2，
∴当m-3≥2时，g（x）=t₀只有1解，
当m-3≤0时，g（x）=t₀有2解，
当0＜m-3＜2时，g（x）=t₀可能有1解，也可能有2解．
∴方程g（g（x））-m+3=0的根的个数最多有2个．
故选B．

点评 本题考查了函数图象的变换，方程根的个数与函数图象的关系，属于中档题．