Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），其焦距为2，点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=mx+t（m∈R），使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0成立？若存在，求出实数t的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=1，再由点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上．，可得a=2，b=$\sqrt{3}$，进而得到a，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4m²）x²+8tmx+4t²-12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆C的焦距2c=2，解得c=1，
∵点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4（{a}^{2}-1）}=1$，解得a²=4，b²=3
∴椭圆C的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4m²）x²+8tmx+4t²-12=0．
△=（8tm）²-4（3+4m²）（4t²-12）＞0，化简得3+4m²＞t²．
x₁+x₂=$\frac{-8mt}{3+4{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-12}{3+4{m}^{2}}$，
假设$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0成立，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+（mx₁+t）（mx₂+t）=0，
（1+m²）x₁x₂+tm（x₁+x₂）+m²=0，
化简得7t²=12+12m²．代入3+4m²＞t²中得${t}^{2}＞\frac{3}{4}$．
有∵7t²=12+12m²≥12，∴t²≥$\frac{12}{7}$，即$≥\frac{2\sqrt{21}}{7}$，或t$≤-\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴存在实数t，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0成立，实数t的取值范围为（-$∞，-\frac{2\sqrt{21}}{7}$]∪[$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，属于中档题．