Question

18．已知函数f（x）=|x+1|+|x+m|．
（1）若函数f（x）的最小值为2，求m的值；
（2）当x∈[-1，1]时，不等式f（x）≤2x+3恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的最小值，得到|m-1|=2，解出m的值即可；
（2）问题转化为-2x-2≤m≤2，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x+m|≥|（x+1）-（x+m）|=|m-1|，
当且仅当（x+1）（x+m）≤0时取等号，
∴f（x）_min=|m-1|，
由|m-1|=2，解得：m=3或m=-1；
（2）当x∈[-1，1]时，不等式f（x）≤2x+3，即x+1+|x+m|≤2x+3，
∴-x-2≤x+m≤x+2，
∴-2x-2≤m≤2，
∵x∈[-1，1]，
∴0≤m≤2．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查了等价转化的数学思想，是一道中档题．