Question

7．如图C，D是以AB为直径的圆上的两点，AB=2AD=2$\sqrt{3}$，AC=BC，F是AB上的一点，且AF=$\frac{1}{3}$AB，CE⊥面ABD，CE=$\sqrt{2}$．
（1）求证：AD⊥平面BCE；
（2）求证AD∥平面CEF；
（3）求三棱锥A-CFD的体积．

Answer 1

分析 （1）依题意AD⊥BD，由CE⊥平面ABD，得CE⊥AD，再由线面垂直的判定可得AD⊥平面BCE；
（2）在Rt△BCE中，求解直角三角形可得BE=2，BD=3．再由AF=$\frac{1}{3}$AB，得$\frac{BF}{BA}=\frac{2}{3}$，可得$\frac{BF}{BA}=\frac{BE}{BD}=\frac{2}{3}$，从而得到AD∥EF，再由线面平行的判定可得AD∥平面CEF；
（3）由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD-BE=1，由F到AD的距离等于E到AD的距离为1．再求出三角形FAD的面积，然后利用等积法求得三棱锥A-CFD的体积．

解答 （1）证明：依题意：AD⊥BD，
∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，
∵BD∩CE=E，∴AD⊥平面BCE；
（2）证明：Rt△BCE中，∵$CE=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{6}$，
∴BE=2，
Rt△ABD中，$AB=2\sqrt{3}$，$AD=\sqrt{3}$，∴BD=3．
∵AF=$\frac{1}{3}$AB，∴$\frac{BF}{BA}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BF}{BA}=\frac{BE}{BD}=\frac{2}{3}$，则AD∥EF，
∵AD?平面CEF，EF?平面CEF，
∴AD∥平面CEF；
（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD-BE=1，
∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．
${S_{△FAD}}=\frac{1}{2}•\sqrt{3}•1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∵CE⊥平面ABD，
∴${V_{A-CFD}}={V_{C-AFD}}=\frac{1}{3}•{S_{△FAD}}•CE=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．