Question

18．如图，四边形ABCD是正方形，且平面ABCD⊥平面ABEG，F是AG上一点，且△ABE与△AEF都是等腰直角三角形，AB=AE，AF=EF．
（1）求证：EF⊥平面BCE；
 （2）设线段CD，AE的中点分别为P，M，求三棱锥M-BDP和三棱锥F-BCE的体积比．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥平面ABEG，从而EF⊥BC，再求出EF⊥BE，由此能证明EF⊥平面BCE．
（2）设正方形ABCD的边长为a，连结MB，MD，BD，BP，V_M-BDP=$\frac{1}{3}{S}_{△BDP}×MA$；同理，连接FB，FC，则V_F-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×EF$，由此能求出三棱锥M-BDP和三棱锥F-BCE的体积比．

解答 证明：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEG，平面ABCD∩平面ABEG=AB，
ABCD为正方形，
∴BC⊥平面ABEG，∵EF?平面ABEG，∴EF⊥BC，
∵$∠AEF+∠AEB=\frac{π}{2}$，∴EF⊥BE，
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴EF⊥平面BCE．
解：（2）设正方形ABCD的边长为a，连结MB，MD，BD，BP，
则V_M-BDP=$\frac{1}{3}{S}_{△BDP}×MA$=$\frac{1}{3}×\frac{{a}^{2}}{4}×\frac{a}{2}=\frac{{a}^{3}}{24}$，
同理，连接FB，FC，
则BCEV_F-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×EF$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}{a}^{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}a}{2}$=$\frac{{a}^{3}}{6}$，
∴V_M-BDP：V_F-EBC=$\frac{1}{24}：\frac{1}{6}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查两个三棱锥的体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．