Question

13．若存在两个正实数x，y，使得等式${x^3}{e^{\frac{y}{x}}}-a{y^3}=0$成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $[\frac{e^2}{8}，+∞）$
• B． $（0，\frac{e^3}{27}]$
• C． $[\frac{e^3}{27}，+∞）$
• D． $（0，\frac{e^2}{8}]$

Answer 1

分析 分离参数，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可

解答 解：∵存在两个正实数x，y，使得等式${x^3}{e^{\frac{y}{x}}}-a{y^3}=0$成立，
∴a=$\frac{{e}^{\frac{y}{x}}}{（\frac{y}{x}）^{3}}$，
设$\frac{y}{x}$=t，t＞0，则a=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{3}}$，
设f（t）=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{3}}$，
则f′（t）=$\frac{{e}^{t}（t-3）}{{t}^{4}}$，
当t＞3时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增，
当0＜t＜3时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减，
∴f（t）_min=f（3）=$\frac{{e}^{3}}{27}$，
∴a≥$\frac{{e}^{3}}{27}$
故选：C

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．